Funciones Trigonométricas

Home / Funciones Trigonométricas - marzo 27, 2019 , by hkbgi

Ejercicio N^o 1

Probar que:

a) $sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$

b) $tan^2\alpha+1 = sec^2\alpha$

Probar que:

a) $sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$

b) $tan^2\alpha+1 = sec^2\alpha$

Respuesta a incico a)

Para apoyarnos dibujemos un triángulo rectángulo cualquiera (Figura 1). De acuerdo al teorema de Pitágoras se cumplirá que:

$a^2+b^2 = c^2$ (1.1)

dividamos entonces esta ecuación por $c^2$

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2} = 1$ o lo que es lo mismo

$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2 = 1$ (1.2)

pero por definición $sin(\alpha) = \frac{a}{c}$ y $cos(\alpha) = \frac{b}{c}$

De donde sustituyendo en Ec.1.2 se tiene

$sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$ Q.E.D.

Respuesta a inciso b)

Para demostrar esta identidad

Dividiendo por $cos^2\alpha$ la relación que demostramos anteriormente se tendrá entonces que:

$\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}+\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{1}{cos^2\alpha}$ (1.3)

simplificando y aplicando propiedades de las potencias se obtiene:

$(\frac{sin\:\alpha}{cos\:\alpha})^2+ 1 = (\frac{1}{cos\:\alpha})^2$ (1.4)

pero por definición $\frac{sin\:\alpha}{cos\:\alpha}= tan\:\alpha$ y $\frac{1}{cos\:\alpha}= sec\:\alpha$

Sutituyendo estas relaciones en Ec. 1.4 se obtiene:

$tan^2\alpha+1 = sec^2\alpha$ Q.E.D.

Ejercicio Nº2

Una pelota rueda por un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación con la horizontal es de 25º (ver Figura). Cuando la pelota desciende 2.0 metros a lo largo del plano ¿Qué altura (h) habrá descendido y que desplazamiento horizontal (d) habrá realizado?

Respuesta

Es siempre aconsejable hacer un esquema del problema en cuestión. En este caso hemos hecho una representación del problema en la Figura 2. En la misma se han destacado las incógnitas h y d.

Utilizando las definiciones de seno y coseno respectivamente, tenemos que:

$sin(25º) = \frac{h}{2.0} => h = 2.0 sin(25º) = (2.0)(0.423) = 0.846 m \approx\:0.8 m$

$cos(25º) = \frac{d}{2.0} => d= 2.0 cos(25º) = (2.0)(0.906) = 1.812 m \approx\:1.8 m$

Ejercicio Nº3

Se desea construir una carretera en línea recta hasta la cima de una montaña de 1200 m de altura sin que el ángulo de inclinación sobrepase los 30^o ¿Cuál será la longitud mínima de este tramo de carretera?

Respuesta

Está claro que mientras más pequeño sea el ángulo de inclinación más largo será el tramo de carretera. Por tanto la longitud de carretera mínima será aquella construida con un ángulo lo más próximo posible a 90º. Sin embargo, en el enunciado del problema nos limitan a un ángulo no superior a 30º. Esto quiere decir que la longitud mínima que puede tener la carretera será aquella construida bajo el ángulo límite permitido, o sea 30º. De acuerdo con la Figura 3 nuestro problema se reduce entonces a hallar la longitud el lado $\overline{AC}$ del triángulo rectángulo ABC.

Utilizando la definición del seno de un ángulo se tendrá que:

$sin(30º) = \frac{1200}{\overline{AC}}$ de donde $\overline{AC}=\frac{1200}{sin(30º)}= \frac{1200}{0.5} = 2400 m$

Ejercicios propuestos

1- Probar que:

a) $cos(x)tan(x) = sin(x)$

b) $sec^2(x)(1-sin^2(x)) = 1$

c) $cot(a) cot(\frac{\pi}{2}-a) -sin(a)sec(\frac{\pi}{2}-a) = 0$

2- Un poste de 50 m de altura proyecta una sombra de 3.0 m sobre un suelo horizontal ¿Con que inclinación caen los rayos solares? ¿Si el poste no proyecta sombra cual es el ángulo de los rayos solares con la horizontal?

3- Los puntos A y B están a un mismo nivel en la base de una montaña cuyo pico P está a 950 m sobre dicho nivel. Se conoce que los ángulos PAB y PBA son de 40 respectivamente. Calcule la distancia entre los puntos A y B

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