Identidades trigonométricas básicas

Home / Identidades trigonométricas básicas - enero 3, 2019 , by hkbgi

Objetivos:

Al finalizar esta entrada habrás aprendido cómo se definen las distintas funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, la relación entre ángulos complementarios, algunas identidades útiles de memorizar, los ángulos complementarios y la representación gráfica de las funciones sin(x) y cos(x)

Definición de funciones trigonométricas a partir de los triángulos rectángulos.

Sea un triángulo rectángulo ABC de lados a, b y c. sean α y β sus ángulos agudos (< 90º) (Fig. 1). En el triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones importantes:

$\alpha+ \beta = \pi/2$

siendo $\pi = 3.1416 \textit{rad}$ o equivalentemente $\pi = 180^{\circ}$ .

Recuerde que $1 \textit{rad} \approx 57.2958^{\circ}$

Teorema de Pitágoras:

En todo triángulo rectángulo se cumple que:

$a^2+b^2 = c^2$

donde $c$ es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º) y $a$ y $b$ son los catetos

Ángulos complementarios

Los triángulos rectángulos permiten establecer relaciones entre sus lados, cuyos valores dependen exclusivamente de uno de sus ángulos agudos, con independencia de las dimensiones del triángulo. De esta manera se definen las funciones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente):

Seno del ángulo $= \frac{cateto\:opuesto}{hipotenusa}$

Coseno del ángulo $= \frac{cateto\:adyacente}{hipotenusa}$

Tangente del ángulo $= \frac{cateto\:opuesto}{cateto\:adyacente}$

Aplicando estas definiciones en el triángulo anterior se tiene que.

$sin\:\alpha = \frac{a}{c}$ $sin\:\beta = \frac{b}{c}$

$cos\:\alpha = \frac{b}{c}$ $cos\:\beta = \frac{a}{c}$

$tan\:\alpha = \frac{a}{b}$ $tan\:\alpha = \frac{b}{a}$

Comparando las expresiones anteriores podemos llegar a la siguiente conclusión:

$sin\:\alpha =cos\:\beta$

$cos\:\alpha =sin\:\beta$

$tan\:\alpha =\frac{1}{tan\:\beta}$

Teniendo en cuenta la relación (1): $\beta = \pi/2-\alpha$

$sin\:\alpha =cos\:(\pi/2-\alpha)$

$cos\:\alpha =sin\:(\pi/2-\alpha)$

$tan\:\alpha =\frac{1}{tan\:(\pi/2-\alpha)}$

O sea que:

-El seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario y viceversa

-La tangente de un ángulo es igual al recíproco de su complementario

Los recíprocos de las tres funciones trigonométricas representadas anteriormente definen otras tres funciones trigonométricas:

$cot\:\alpha =\frac{1}{tan\:\alpha}$

$sec\:\alpha =\frac{1}{cos\:\alpha}$

$csc\:\alpha =\frac{1}{sin\:\alpha}$

Ángulos notables

Existen ciertos ángulos (ángulos notables) cuyas funciones trigonométricas son fácilmente calculables y que recomendamos memorizar. Esto ángulos son: 0° ;30° ;45° ;60° ;90° (expresados en grados). Teniendo en cuenta que $\pi\:rad=180°$ los ángulos anteriores se expresan en radianes como:

$0;\:\frac{\pi}{6};\:\frac{\pi}{4};\:\frac{\pi}{3}\: y \:\frac{\pi}{2}$ respectivamente

Cálculo de las funciones trigonométricas de los ángulos notables.

Sea un triángulo equilátero (triángulo cuyos tres lados son de igual longitud) de lado l. Sus tres ángulos internos son iguales y como deben sumar 180° , cada uno de ellos será de 60°. La bisectriz de cada uno de ellos será a su vez mediana y mediatriz (por lo que es perpendicular al lado opuesto del ángulo y lo divide en dos partes iguales Fig. 2. Se forman así dos triángulos rectángulos de ángulos agudos iguales a 30° y 60°. Escogiendo uno de estos triángulos rectángulos podemos calcular las funciones trigonométricas correspondientes a 30° y 60°.

Por ejemplo escojamos el triángulo ADB

Para 30º tenemos:

$sin(30) = \frac{l/2}{l} = \frac{1}{2} ; \: sin(30) = \frac{1}{2}$

$cos(30) = \frac{\overline{BD}}{l}$

pero… ¡cómo calcular BD!

De acuerdo al teorema de Pitágoras se tiene que:

$\overline{BD}^2+ \frac{l}{2}^2 =l^2$

de donde se obtiene

$\overline{BD}= \sqrt{l^2- \frac{l}{2}^2 } = \sqrt{\frac{3l^2}{4}} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$

Sustituyendo BD en la expresión del cos(30) se obtiene:

$cos(30) = l \frac{\sqrt{3}/2}{l} =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Teniendo ahora en cuenta las definiciones de las distintas funciones trigonométricas tenemos que :

$tan(30) = \frac{l/2}{l \sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$sin(30) = \frac{l/2}{l } = \frac{1}{2}$

Mientras que para 60º tenemos:

$sin(60) = \frac{l \sqrt{3}/2}{l} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(60) = \frac{l /2}{l} = \frac{1}{2}$

$tan(60) = \frac{l /2}{l \sqrt{3}/2} = \frac{sin(60)}{cos(60)} = \sqrt{3}$

Consideremos ahora el triángulo rectángulo (un ángulo recto igual a 90º) e isósceles (dos lados iguales) de la Fig. 3. Una propiedad de los triángulos isóceles es que los ángulos opuestos a lados iguales son también iguales. Esto quiere decir que en el ángulo ABC es igual al ángulo ACB. Dado que el tercer ángulo es de 90º por tratarse de un triángulo rectángulo y teniendo en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º, se deduce que los ángulos ABC y ACB son iguales a 45º

Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras se tiene que la hipotenusa es:

$\overline{BC}^2 =l^2 + l^2 = 2l^2$

$\overline{BC} = l\sqrt{2}$

Por tanto, ahora podemos calcular las distintas funciones trigonométricas para el ángulo de 45º:

$sin(45) = \frac{l} {l\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos(45) = \frac{l} {l\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(45) = \frac{l}{l} = \frac{sin(45)}{cos(45)} = 1$

Para 0º y 90º analicemos un triángulo cualquiera. Cuando uno de sus ángulos tiende cero el arco sustentado por este también tiende a cero.

$sin(\alpha) = \frac{b}{c}; si \:\alpha \:tiende\: a\: 0 => b\: tiende\: a\: 0 => sin(\alpha) = 0$

$cos(\alpha) = \frac{a}{c}; si \:\alpha \:tiende\: a\: 0 => a\: tiende\: a\: c => cos(\alpha) = \frac{c}{c}=1$

por tanto

$tan(0) = \frac{sin(0)}{cos(0)}=\frac{0}{1}=0$

Además como 0º y 90º son compelmentarios, o sea (0º + 90º)= 90º entonces se cumple que:

$sin(90) = cos(0) = 1$

$cos(90) = sin(0) = 0$

$tan(90) = \frac{sin(90)}{cos(90)} = \frac{1}{0}= indefinida$

A continuación una tabla resumen con los valores de las principales funciones trigonométricas para los ángulos notables:

Identidades trigonométricas útiles

Existen varias relaciones trigonométricas que resultan de gran utilidad para simplificar muchos cálculos que normalmente aparecen en las ecuaciones físicas. Aunque la mayoría se puede encontrar en tablas vale la pena memorizar algunas de ellas por la frecuencia con que se utilizan, especialmente en el trabajo con vectores. Tales relaciones constituyen identidades trigonométricas puesto que se cumplen para cualquier ángulo.

$sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1$

$tan^2\alpha+1 = sec^2\alpha$

$sin\:2\alpha = 2sin\:\alpha\:cos\:\alpha$

$cos\:2\alpha = cos^2\alpha-sin^2\alpha$

Representación gráfica de las funciones seno y coseno

Las funciones sin(x) y cos(x) son periódicas (con periodo $\pi$ ) y están acotadas entre los valores 1 y -1. Como veremos en las clases sucesivas son de gran importancia dentro de la física. De las gráficas se puede ver que ambas funciones están desfasadas en $\frac{\pi}{2}$ , o sea que: